* *************************** * SET UP THE INITIAL DATA * *************************** * Problem : * ********* * Find the QR factorization of a tridiagonal matrix A. * The problem is formulated as a system of quadratic equations * whose unknowns are the elements of the orthogonal matrix Q and of * the upper triangular matrix R. In this version of the problem, * the banded structure of R is imposed. As a consequence, there are * less variables than equations. * See problem QR3D for the case where this structure is ignored. * The problem is non-convex. * Source: * Ph. Toint, private communication. * SIF input: Ph. Toint, Nov 1993 * classification NQR2-AN-V-V * Define the matrix order M ( M >= 3 ). * There are n = M * M + 3 * ( M - 1 ) variables * and m = M * ( 3 * M + 1 ) equations. *IE M 5 $ n = 37, m = 40 *IE M 20 $ n = 457, m = 610 * Define useful parameters * Define the matrix A to factorize * a(i,i-1)=a(i,i+1)= (1-i)/m, a(i,i) = 2i/m * The orthogonal matrix Q * The upper triangular matrix R * Orthogonality of the Q matrix * Factorization equations A= QR * Orthogonality constraints * Factorization constraints * All variables are free, except the diagonals of R * which are nonnegative * Initialize Q to the identity * Initialize R to the upper triangular part of A * Orthogonality constraints * Factorization constraints * Solution Parameter m ; m := 10; Parameter mm1 ; mm1 := -1 + (10); Parameter mm2 ; mm2 := -2 + (10); Parameter rm ; rm := 10.0; Parameter a1_1 ; a1_1 := 2.0 / (10.0); Parameter a1_2 ; a1_2 := 0.0; Parameter ip1 ; ip1 := 1 + (9); Parameter im1 ; im1 := -1 + (9); Parameter r1mi ; r1mi := -8.0; Parameter r2i ; r2i := 18.0; Parameter a2_1 ; a2_1 := (-1.0) / (10.0); Parameter a2_2 ; a2_2 := (4.0) / (10.0); Parameter a2_3 ; a2_3 := (-1.0) / (10.0); Parameter a3_2 ; a3_2 := (-2.0) / (10.0); Parameter a3_3 ; a3_3 := (6.0) / (10.0); Parameter a3_4 ; a3_4 := (-2.0) / (10.0); Parameter a4_3 ; a4_3 := (-3.0) / (10.0); Parameter a4_4 ; a4_4 := (8.0) / (10.0); Parameter a4_5 ; a4_5 := (-3.0) / (10.0); Parameter a5_4 ; a5_4 := (-4.0) / (10.0); Parameter a5_5 ; a5_5 := (10.0) / (10.0); Parameter a5_6 ; a5_6 := (-4.0) / (10.0); Parameter a6_5 ; a6_5 := (-5.0) / (10.0); Parameter a6_6 ; a6_6 := (12.0) / (10.0); Parameter a6_7 ; a6_7 := (-5.0) / (10.0); Parameter a7_6 ; a7_6 := (-6.0) / (10.0); Parameter a7_7 ; a7_7 := (14.0) / (10.0); Parameter a7_8 ; a7_8 := (-6.0) / (10.0); Parameter a8_7 ; a8_7 := (-7.0) / (10.0); Parameter a8_8 ; a8_8 := (16.0) / (10.0); Parameter a8_9 ; a8_9 := (-7.0) / (10.0); Parameter a9_8 ; a9_8 := (-8.0) / (10.0); Parameter a9_9 ; a9_9 := (18.0) / (10.0); Parameter a9_10 ; a9_10 := (-8.0) / (10.0); Parameter rmm1 ; rmm1 := 9.0; Parameter a10_9 ; a10_9 := (-1.0 * (9.0)) / (10.0); Parameter a10_10 ; a10_10 := 2.0 * (10.0); Parameter ip2 ; ip2 := 2 + (8); Parameter jm2 ; jm2 := -2 + (10); Variable q1_1 , q1_2 , q1_3 , q1_4 , q1_5 , q1_6 , q1_7 , q1_8 , q1_9 , q1_10 , q2_1 , q2_2 , q2_3 , q2_4 , q2_5 , q2_6 , q2_7 , q2_8 , q2_9 , q2_10 , q3_1 , q3_2 , q3_3 , q3_4 , q3_5 , q3_6 , q3_7 , q3_8 , q3_9 , q3_10 , q4_1 , q4_2 , q4_3 , q4_4 , q4_5 , q4_6 , q4_7 , q4_8 , q4_9 , q4_10 , q5_1 , q5_2 , q5_3 , q5_4 , q5_5 , q5_6 , q5_7 , q5_8 , q5_9 , q5_10 , q6_1 , q6_2 , q6_3 , q6_4 , q6_5 , q6_6 , q6_7 , q6_8 , q6_9 , q6_10 , q7_1 , q7_2 , q7_3 , q7_4 , q7_5 , q7_6 , q7_7 , q7_8 , q7_9 , q7_10 , q8_1 , q8_2 , q8_3 , q8_4 , q8_5 , q8_6 , q8_7 , q8_8 , q8_9 , q8_10 , q9_1 , q9_2 , q9_3 , q9_4 , q9_5 , q9_6 , q9_7 , q9_8 , q9_9 , q9_10 , q10_1 , q10_2 , q10_3 , q10_4 , q10_5 , q10_6 , q10_7 , q10_8 , q10_9 , q10_10 , r1_1 , r1_2 , r1_3 , r2_2 , r2_3 , r2_4 , r3_3 , r3_4 , r3_5 , r4_4 , r4_5 , r4_6 , r5_5 , r5_6 , r5_7 , r6_6 , r6_7 , r6_8 , r7_7 , r7_8 , r7_9 , r8_8 , r8_9 , r8_10 , r9_9 , r9_10 , r10_10 , obj ; Equation Def_obj ; Def_obj.. obj =e= sqr(q1_1 * q1_1 + q1_2 * q1_2 + q1_3 * q1_3 + q1_4 * q1_4 + q1_5 * q1_5 + q1_6 * q1_6 + q1_7 * q1_7 + q1_8 * q1_8 + q1_9 * q1_9 + q1_10 * q1_10 - 1.0) + sqr(q1_1 * q2_1 + q1_2 * q2_2 + q1_3 * q2_3 + q1_4 * q2_4 + q1_5 * q2_5 + q1_6 * q2_6 + q1_7 * q2_7 + q1_8 * q2_8 + q1_9 * q2_9 + q1_10 * q2_10) + sqr(q1_1 * q3_1 + q1_2 * q3_2 + q1_3 * q3_3 + q1_4 * q3_4 + q1_5 * q3_5 + q1_6 * q3_6 + q1_7 * q3_7 + q1_8 * q3_8 + q1_9 * q3_9 + q1_10 * q3_10) + sqr(q1_1 * q4_1 + q1_2 * q4_2 + q1_3 * q4_3 + q1_4 * q4_4 + q1_5 * q4_5 + q1_6 * q4_6 + q1_7 * q4_7 + q1_8 * q4_8 + q1_9 * q4_9 + q1_10 * q4_10) + sqr(q1_1 * q5_1 + q1_2 * q5_2 + q1_3 * q5_3 + q1_4 * q5_4 + q1_5 * q5_5 + q1_6 * q5_6 + q1_7 * q5_7 + q1_8 * q5_8 + q1_9 * q5_9 + q1_10 * q5_10) + sqr(q1_1 * q6_1 + q1_2 * q6_2 + q1_3 * q6_3 + q1_4 * q6_4 + q1_5 * q6_5 + q1_6 * q6_6 + q1_7 * q6_7 + q1_8 * q6_8 + q1_9 * q6_9 + q1_10 * q6_10) + sqr(q1_1 * q7_1 + q1_2 * q7_2 + q1_3 * q7_3 + q1_4 * q7_4 + q1_5 * q7_5 + q1_6 * q7_6 + q1_7 * q7_7 + q1_8 * q7_8 + q1_9 * q7_9 + q1_10 * q7_10) + sqr(q1_1 * q8_1 + q1_2 * q8_2 + q1_3 * q8_3 + q1_4 * q8_4 + q1_5 * q8_5 + q1_6 * q8_6 + q1_7 * q8_7 + q1_8 * q8_8 + q1_9 * q8_9 + q1_10 * q8_10) + sqr(q1_1 * q9_1 + q1_2 * q9_2 + q1_3 * q9_3 + q1_4 * q9_4 + q1_5 * q9_5 + q1_6 * q9_6 + q1_7 * q9_7 + q1_8 * q9_8 + q1_9 * q9_9 + q1_10 * q9_10) + sqr(q1_1 * q10_1 + q1_2 * q10_2 + q1_3 * q10_3 + q1_4 * q10_4 + q1_5 * q10_5 + q1_6 * q10_6 + q1_7 * q10_7 + q1_8 * q10_8 + q1_9 * q10_9 + q1_10 * q10_10) + sqr(q2_1 * q2_1 + q2_2 * q2_2 + q2_3 * q2_3 + q2_4 * q2_4 + q2_5 * q2_5 + q2_6 * q2_6 + q2_7 * q2_7 + q2_8 * q2_8 + q2_9 * q2_9 + q2_10 * q2_10 - 1.0) + sqr(q2_1 * q3_1 + q2_2 * q3_2 + q2_3 * q3_3 + q2_4 * q3_4 + q2_5 * q3_5 + q2_6 * q3_6 + q2_7 * q3_7 + q2_8 * q3_8 + q2_9 * q3_9 + q2_10 * q3_10) + sqr(q2_1 * q4_1 + q2_2 * q4_2 + q2_3 * q4_3 + q2_4 * q4_4 + q2_5 * q4_5 + q2_6 * q4_6 + q2_7 * q4_7 + q2_8 * q4_8 + q2_9 * q4_9 + q2_10 * q4_10) + sqr(q2_1 * q5_1 + q2_2 * q5_2 + q2_3 * q5_3 + q2_4 * q5_4 + q2_5 * q5_5 + q2_6 * q5_6 + q2_7 * q5_7 + q2_8 * q5_8 + q2_9 * q5_9 + q2_10 * q5_10) + sqr(q2_1 * q6_1 + q2_2 * q6_2 + q2_3 * q6_3 + q2_4 * q6_4 + q2_5 * q6_5 + q2_6 * q6_6 + q2_7 * q6_7 + q2_8 * q6_8 + q2_9 * q6_9 + q2_10 * q6_10) + sqr(q2_1 * q7_1 + q2_2 * q7_2 + q2_3 * q7_3 + q2_4 * q7_4 + q2_5 * q7_5 + q2_6 * q7_6 + q2_7 * q7_7 + q2_8 * q7_8 + q2_9 * q7_9 + q2_10 * q7_10) + sqr(q2_1 * q8_1 + q2_2 * q8_2 + q2_3 * q8_3 + q2_4 * q8_4 + q2_5 * q8_5 + q2_6 * q8_6 + q2_7 * q8_7 + q2_8 * q8_8 + q2_9 * q8_9 + q2_10 * q8_10) + sqr(q2_1 * q9_1 + q2_2 * q9_2 + q2_3 * q9_3 + q2_4 * q9_4 + q2_5 * q9_5 + q2_6 * q9_6 + q2_7 * q9_7 + q2_8 * q9_8 + q2_9 * q9_9 + q2_10 * q9_10) + sqr(q2_1 * q10_1 + q2_2 * q10_2 + q2_3 * q10_3 + q2_4 * q10_4 + q2_5 * q10_5 + q2_6 * q10_6 + q2_7 * q10_7 + q2_8 * q10_8 + q2_9 * q10_9 + q2_10 * q10_10) + sqr(q3_1 * q3_1 + q3_2 * q3_2 + q3_3 * q3_3 + q3_4 * q3_4 + q3_5 * q3_5 + q3_6 * q3_6 + q3_7 * q3_7 + q3_8 * q3_8 + q3_9 * q3_9 + q3_10 * q3_10 - 1.0) + sqr(q3_1 * q4_1 + q3_2 * q4_2 + q3_3 * q4_3 + q3_4 * q4_4 + q3_5 * q4_5 + q3_6 * q4_6 + q3_7 * q4_7 + q3_8 * q4_8 + q3_9 * q4_9 + q3_10 * q4_10) + sqr(q3_1 * q5_1 + q3_2 * q5_2 + q3_3 * q5_3 + q3_4 * q5_4 + q3_5 * q5_5 + q3_6 * q5_6 + q3_7 * q5_7 + q3_8 * q5_8 + q3_9 * q5_9 + q3_10 * q5_10) + sqr(q3_1 * q6_1 + q3_2 * q6_2 + q3_3 * q6_3 + q3_4 * q6_4 + q3_5 * q6_5 + q3_6 * q6_6 + q3_7 * q6_7 + q3_8 * q6_8 + q3_9 * q6_9 + q3_10 * q6_10) + sqr(q3_1 * q7_1 + q3_2 * q7_2 + q3_3 * q7_3 + q3_4 * q7_4 + q3_5 * q7_5 + q3_6 * q7_6 + q3_7 * q7_7 + q3_8 * q7_8 + q3_9 * q7_9 + q3_10 * q7_10) + sqr(q3_1 * q8_1 + q3_2 * q8_2 + q3_3 * q8_3 + q3_4 * q8_4 + q3_5 * q8_5 + q3_6 * q8_6 + q3_7 * q8_7 + q3_8 * q8_8 + q3_9 * q8_9 + q3_10 * q8_10) + sqr(q3_1 * q9_1 + q3_2 * q9_2 + q3_3 * q9_3 + q3_4 * q9_4 + q3_5 * q9_5 + q3_6 * q9_6 + q3_7 * q9_7 + q3_8 * q9_8 + q3_9 * q9_9 + q3_10 * q9_10) + sqr(q3_1 * q10_1 + q3_2 * q10_2 + q3_3 * q10_3 + q3_4 * q10_4 + q3_5 * q10_5 + q3_6 * q10_6 + q3_7 * q10_7 + q3_8 * q10_8 + q3_9 * q10_9 + q3_10 * q10_10) + sqr(q4_1 * q4_1 + q4_2 * q4_2 + q4_3 * q4_3 + q4_4 * q4_4 + q4_5 * q4_5 + q4_6 * q4_6 + q4_7 * q4_7 + q4_8 * q4_8 + q4_9 * q4_9 + q4_10 * q4_10 - 1.0) + sqr(q4_1 * q5_1 + q4_2 * q5_2 + q4_3 * q5_3 + q4_4 * q5_4 + q4_5 * q5_5 + q4_6 * q5_6 + q4_7 * q5_7 + q4_8 * q5_8 + q4_9 * q5_9 + q4_10 * q5_10) + sqr(q4_1 * q6_1 + q4_2 * q6_2 + q4_3 * q6_3 + q4_4 * q6_4 + q4_5 * q6_5 + q4_6 * q6_6 + q4_7 * q6_7 + q4_8 * q6_8 + q4_9 * q6_9 + q4_10 * q6_10) + sqr(q4_1 * q7_1 + q4_2 * q7_2 + q4_3 * q7_3 + q4_4 * q7_4 + q4_5 * q7_5 + q4_6 * q7_6 + q4_7 * q7_7 + q4_8 * q7_8 + q4_9 * q7_9 + q4_10 * q7_10) + sqr(q4_1 * q8_1 + q4_2 * q8_2 + q4_3 * q8_3 + q4_4 * q8_4 + q4_5 * q8_5 + q4_6 * q8_6 + q4_7 * q8_7 + q4_8 * q8_8 + q4_9 * q8_9 + q4_10 * q8_10) + sqr(q4_1 * q9_1 + q4_2 * q9_2 + q4_3 * q9_3 + q4_4 * q9_4 + q4_5 * q9_5 + q4_6 * q9_6 + q4_7 * q9_7 + q4_8 * q9_8 + q4_9 * q9_9 + q4_10 * q9_10) + sqr(q4_1 * q10_1 + q4_2 * q10_2 + q4_3 * q10_3 + q4_4 * q10_4 + q4_5 * q10_5 + q4_6 * q10_6 + q4_7 * q10_7 + q4_8 * q10_8 + q4_9 * q10_9 + q4_10 * q10_10) + sqr(q5_1 * q5_1 + q5_2 * q5_2 + q5_3 * q5_3 + q5_4 * q5_4 + q5_5 * q5_5 + q5_6 * q5_6 + q5_7 * q5_7 + q5_8 * q5_8 + q5_9 * q5_9 + q5_10 * q5_10 - 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